4. MISE EN EQUATIONS DU PROBLEME

4.1. Hypothèses simplificatrices

Nous allons aborder le phénomène de convection dans le contexte d'une mince couche de fluide confinée entre deux plaques polies rigides horizontales. La plaque inférieure et supérieure sont maintenues à des températures respectivement notées T₂ et T₁ (T₂>T₁) uniformes et constantes.

De ce modèle découlent les hypothèses simplificatrices suivantes:

- le gradient de température, c’est-à-dire la variation de température par unité de hauteur, est linéaire ;

- la gravité, supposée uniforme à l’échelle de l’expérience, est la seule force agissant à l'intérieur de la couche de fluide ;

- la densité est la seule propriété du fluide affectée par la variation de température. La viscosité et la diffusivité thermique sont donc supposées constantes. Notons que la densité décroît lorsque la température augmente.

4.2. Mise en équations

T₁

air

T₂

En un point (x,y,z) de la couche d’air, on peut écrire la température T(x,y,z,t) sous la forme :

où T₀ est la valeur moyenne de la température.

: écart de température par rapport à

est petit devant

De même, on peut écrire la densité du fluide sous la forme:

avec:

: densité du fluide en l’absence de gradient de température, supposé uniforme

 : écart de densité par rapport à

Pour la pression P on a de même :

où est la pression moyenne de la couche d’air.

et est l’écart de pression par rapport à dû principalement au gradient thermique et de façon, ici, négligeable par rapport à la hauteur (champ de gravitation).

L’équation de Navier-Stokes en présence d’un champ de pesanteur pour un fluide visqueux est:

où : est la viscosité dynamique.

est le vecteur vitesse du fluide.

D’autre part, à pression constante :

V est le volume du fluide.

est le coefficient de dilatation thermique isobare du fluide.

Après avoir défini la viscosité cinématique comme le rapport :

L’équation devient donc :

avec :

et :

on obtient alors :

Le terme , qui résulte de l’interaction du champ de gravité avec le gradient de densité, est le terme moteur de la convection. Le terme représente les effets visqueux du fluide.

Le terme inertiel et le gradient de pression sont considérés négligeables par rapport au terme .

Un mouvement convectif pourra avoir lieu quand le terme représentant la convection sera suffisamment important par rapport au terme représentant la traînée visqueuse.

où est une constante sans dimension

C’est le nombre de Rayleigh critique qui dépend étroitement des conditions aux limites du problème.

On peut d’autre part déterminer des échelles caractéristiques.

En particulier, on a :

où d est distance entre les deux plans

et :

Considérons enfin l’équation de la chaleur d’un fluide :

K : diffusivité thermique

On déduit de cette équation une vitesse caractéristique en régime permanent :

Le phénomène de convection débutera donc pour :

Si l’on définit le nombre de Rayleigh comme étant:

on aura donc un écoulement convectif pour:

Dans le cas où la couche de fluide est comprise entre deux plans infinis, des calculs théoriques montrent que le nombre de Rayleigh critique est de 1708 [3]. Des expériences menées par P. Silveston et E. Koschmieder laissent prévoir également que =1700 ± 50 [3].

Le but des T.P. proposés ici sera en particulier d’évaluer l’écart par rapport à cette valeur idéale pour le rapport d’aspect L/d utilisé.